Fundamentos matemáticos para la evaluación - IV

La tabla 4 al final del texto presenta el valor de la sumatoria para distintas combinaciones de i y n. En nuestro ejemplo, frente a la fila de 3 períodos se encuentra el factor 2.4868, que corresponde a un interés del 10%. Multiplicando este factor por los $ 1 000 del valor de la cuota, se tiene $ 2 486.8, que representan el valor actual de tres cuotas de $ 1 000 cada una disponibles al término de cada año a partir del próximo. Ahora bien, si se quisiera determinar la cuota anual que es necesario depositar a una cierta tasa de interés para que al final de un número dado de períodos se tenga una cantidad deseada, sólo se necesita reordenar la ecuación 17.10, despe- jando la variable que se desea conocer, o sea: Puesto que el denominador de la ecuación es un factor determinable por la tabla 3 al final del libro, la solución es inmediata. Por ejemplo, si se desea calcular la suma anual por depositar al 10% anual durante 3 años para que su término se disponga de $ 5 000, se tiene que:
Por lo tanto, la cuota anual necesaria para lograr el resultado esperado es de S 1 510.57. Un análisis similar se realiza para calcular el retiro anual de un depósito actual a una tasa de interés dada. En este caso, es la ecuación 17.12, la que se reordena despejando la variable cuota, que representa el monto de los retiros, de la siguiente manera:
 
Al representar el factor denominador que proporciona la tabla 4 al final del texto, dados una tasa de interés y un número de períodos conocidos, la solución es inmediata. El análisis es levemente más complejo para calcular la tasa de interés o el plazo, aunque el procedimiento para ambos es idéntico. Si la incógnita que se va a calcular es i o n para una inversión única presente que reditúa un beneficio único futuro, se vuelve a la ecuación 17.6, despejando la totalidad del factor de la tabla. Es decir,

Fundamentos matemáticos para la evaluación - III

Considérese ahora un caso diferente. En vez de un depósito inicial único de $ 1 000, se depositarán $ 1 000 solamente al término de cada año. Para determinar cuánto se habrá capitalizado al finalizar 3 años al 10% de interés anual, el procedi- miento sigue la misma lógica anterior. Si cada depósito se realiza al término de cada año, la inversión del primer año ganaría intereses por 2 períodos, la del segundo por uno y la del tercero no habría ganado aún sus intereses. Esta situación se presenta en el Cuadro 17.1. 

A los $ 1 000 de depósito anual se les denomina anualidad. Si ésta es una cuota constante, que se representará por C, se puede generalizar la presentación del Cuadro 17.1 en la siguiente expresión: La tabla 3 al final del texto presenta el valor de la sumatoria. Para nuestro ejemplo, se busca en la fila correspondiente a n=3 el valor del factor en la inter- sección con la tasa de interés del 10%, encontrándose el factor 3.3100. Al multiplicar $ 1 000 por este factor, se obtienen los $ 3 310 que se había calculado en el cuadro anterior. Si se quisiera calcular el valor actual de los mismos depósitos, se tendrá la posición que se representa en el Cuadro 17.2. Nótese que en este caso se desea expresar la suma de las anualidades en moneda equivalente al período cero. Si la anualidad es constante, se puede generalizar lo anterior en la siguiente expresión:

Fundamentos matemáticos para la evaluación - II

donde n representa el número de períodos durante los cuales se quiere capitalizar la inversión inicial. Al simplificar el proceso de capitalización en una ecuación como la 17.6, se permitió la elaboración de tablas financieras que presentan el valor de (1 +i)n para cualquier combinación de i y n. Si se revisa la tabla 1 al final del texto, se podrá calcular más fácilmente el valor futuro de una inversión de $ 1 000, capitalizada a dos años a una tasa de interés del 10%. Para ello se busca la fila correspondiente a 2 períodos y se sigue por esta fila hasta el número correspondiente a la columna del 10%, donde está el valor 1.2100. Luego, el valor capitalizado al cabo de 2 años es También se han elaborado tablas para este valor. La tabla 2 al final del libro presenta el valor de este factor de actualización. Para el ejemplo ya utilizado se tiene que se desea conocer el valor actual de $ 1 210 de 2 años más a una tasa pertinente de interés del 10%. Frente a la fila de 2 períodos se busca la columna correspondiente al 10% y se obtiene el factor 0,8264. Al multiplicar este factor por los $ 1 210 resulta $ 999.942.

Fundamentos matemáticos para la evaluación - I

El análisis de las técnicas principales de evaluación, las de flujo de caja descontado, requiere de la utilización de las matemáticas financieras para su aplicación. Si bien la operativa mecánica es altamente sencilla, por los avances en el campo de la minicomputación y calculadoras de bolsillo que poseen programas financieros de solución incorporada, es absolutamente necesario conocer sus fundamentos conceptuales para su correcta aplicación. Supóngase que se invierten $ 1 000 a una tasa pactada del 10% anual compuesto. Al término de un año se tendrán los $ 1 000 invertidos más $ 100 de interés sobre la inversión. Es decir, se tendrán $ 1100 que se obtuvieron de:

  Si al término del primer año la ganancia no se retira, sino que se mantiene depositada junto con la inversión inicial por otro año más, al finalizar éste se tendrá, por el mismo procedimiento: Recordando cómo se obtuvieron los 1 100, se puede reemplazar para tener la expresión

Técnicas de evaluación basadas en flujos descontados - III

Bien puede apreciarse que la línea que une Y20 con Y2, representa el lugar geométrico de todas las combinaciones de consumo presente y futuro equivalentes en términos de valor tiempo del dinero. El valor capitalizado es Y2¡, que, en consecuencia, representa el mismo atractivo que Y20 para el inversionista, en términos de valoración de sus flujos de ingreso en el tiempo. Al representar la recta alternativas idénticas en preferencias de consumo actual y futuro, puede medirse el valor del dinero en el tiempo en cualquiera de sus puntos. Por simplicidad de cálculo, convendrá hacerlo ó en Y2! ó en Y20. Hacerlo en Y2i es calcular un valor capitalizado, mientras que hacerlo en Yz0 es calcular un valor actualizado o descontado. Aun cuando se inició el capítulo señalando la medición de la rentabilidad en términos capitalizados, ahora puede apreciarse que hacerlo en valores actuales proporciona idéntica base de comparación. El uso generalizado de esta última posibilidad hará que los análisis sucesivos de evaluación se hagan sobre la base de valores actuales. Bierman y Smidt1 explican el significado del valor actual señalando que "un dólar recibido ahora es más valioso que un dólar recibido dentro de 5 años en virtud de las posibilidades de inversión disponibles para el dólar de hoy.

Al invertir o prestar el dólar recibido hoy, puedo tener considerablemente más "de mi dólar dentro de cinco años. Si el dólar recibido se emplea ahora para el consumo, estaré dando más que el valor de un dólar de consumo en el año cinco. Por esta razón, los ingresos futuros deben descontarse siempre". El objetivo de descontar los flujos de caja futuros proyectados es, entonces, determinar si la inversión en estudio rinde mayores beneficios que los usos de alternativa de la misma suma de dinero requerida por el proyecto. Los principales métodos que utilizan el concepto de flujo de caja descontado son el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR). Menos importante es el de razón beneficio-costo descontada. Aunque actualmente cualquier calculadora fiananciera de bolsillo permite la aplicación directa de las matemáticas financieras a los procedimientos de evaluación basados en flujos de caja descontados, el apartado siguiente trata del uso de tablas financieras en la aplicación matemática a su solución.

Técnicas de evaluación basadas en flujos descontados - II

Si se ahorrase todo el ingreso actual, vale decir, si no hubiera consumo en el período cero, el ingreso futuro esperado máximo sería el representado por Y21 en la gráfica, donde: De igual forma, el consumo actual se puede incrementar recurriendo a préstamos, por ejemplo, a cuenta de futuros ingresos. En el Gráfico, un consumo actual de C20 reduce la capacidad de consumo futuro a C2!, donde:

Técnicas de evaluación basadas en flujos descontados - I

Un proyecto será rentable si la capitalización, a la tasa de interés pertinente para la empresa, de su flujo de caja es mayor que cero al término de su vida útil. De esta forma, una decisión considera los principales factores condicionantes de la rentabilidad de las inversiones: la cuantía de los flujos de caja, el valor del dinero en el tiempo y la oportunidad de los movimientos de esos valores. 

La consideración de los flujos en el tiempo requiere la determinación de una tasa de interés adecuada que represente la equivalencia de dos sumas de dinero en dos períodos diferentes. La selección de la tasa de interés relevante se analizará en el capítulo 18. Este capítulo se ocupará de la forma de aplicar la tasa respectiva una vez que ha sido determinada. Para apreciar los conceptos de valor del dinero en el tiempo, flujos capitaliza- dos y flujos descontados, considérese el Gráfico 17.1. Supóngase una persona con un ingreso presente de Y°0, representado en el eje del momento presente , y un ingreso futuro de Y",, representado en el eje del tiempo futuro (período próximo). Con ambos ingresos, es posible un consumo actual C°0 y un consumo futuro C"j. Sin embargo, también es posible un consumo C'0 actual, que permitirá ahorros potencialmente invertibles en alguna oportunidad que genere un interés i, de tal manera que en el período 1 el ingreso Y°! se vería incrementado a Y1 j. Esto es,